ХАРДИ ВАРИАЦИЯ

- одна из числовых характеристик функции нескольких переменных. Пусть функция f(x) = f(x₁, ..., х _п), п= 2, 3, ..., задана на n-мерном параллелепипеде

и

Пусть, далее, П - произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями

на n-мерные параллелепипеды и -класс всех функций f(х), для к-рых

Пусть, теперь - целочисленный вектор, координаты к-poro удовлетворяют неравенствам и - целочисленный вектор размерности п-s такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел 1, ..., п, к-рые не содержатся среди Тогда каждую точку можно записать в виде Если координаты точки фиксированы на значениях то будем писать Вариация Харди функции f(х)на D_n:

Если то говорят, что функция f(х) имеет ограниченную (конечную) X.в. на параллелепипеде D_n, а класс всех таких функций обозначается Н(D_n). Этот класс при n = 2 был введен Г. Харди [1] (см. также [2]) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции f(х ₁,x₂ )класса имеющей период 2p по каждой переменной, сходятся в каждой точке (х ₁,x₂) к числу

где

Для того чтобы функция f(х)входила в класс H(D_n), необходимо н достаточно, чтобы ее можно было представить в виде f(x) = f₁(x)-f₂(x). где f₁ и f₂ такие конечные на D_n функции, что k= 2, ..., п, при всех и допустимых приращениях h1, ..., h _п. Класс Н(D_n )содержится в классе (D_n )функций, имеющих ограниченную Арцела вариацию на D_n.

Лит.:[1] Hardy G. Н., лQuart. J. Math.